A lo largo de los años de Universidad, por los azares del destino, he dado con gente que me ha hablado una y otra vez sobre Gödel. Así, de a poco, por esos cuentos que escuche, comencé a enterarme sobre su obra. En el campo de las matemáticas los teoremas de Gödel hicieron tambalearse los cimientos en modo comparable a lo que fue el principio de incerteza de Heisenberg en física. Muchos de los más interesantes desarrollos de la informática se cuentan entre los frutos cosechados por esos legendarios teoremas. Estos hechos por si solos fueron los motivos para profundizar más en el estudio de su vida. Espero con estos Recuentos despertarles algo de mí curiosidad por su vida y obra.
…Cuando Rudolph Carnap
se despidió en el café Reichsrat,
perdiéndose entre los transeúntes
el 26 de agosto de 1930,
Kurt Gödel supo que había matado a un hombre.
En realidad a más de uno,
ya que entre los vivos y los muertos
las víctimas eran numerosas, se dijo,
volviendo la mirada hacia el manuscrito
desparramado sobre la mesa;
epitafio para los protagonistas
de un prolongado intento.
Esas ecuaciones, corregidas una y otra vez -
porque le había costado convencerse,
dar con el camino perfecto- ,
modificaban profundamente
la visión que se tenía de la matemática,
incluso alteraban el curso de la humanidad….
….La historia de este crimen plural
había comenzado dos mil trescientos años antes
de aquella conversación en el café vienés,
presumiblemente en la biblioteca de Alejandría
cuando alguien, que llamamos Euclides,
y sus discípulos emprendieron
la tarea de escribir un tratado, "Los Elementos",
que reuniera el conocimiento matemático
del mundo de aquel entonces….
ENSAYO Recuerdos e investigaciones:
El teorema de Gödel
Eric Goles
Diario El Mercurio, Artes & Letras, 10 de Agosto de 2003
Kurt Gödel nació el 28 de abril de 1906 en Brno, Moravia (Austria- Hungría, en el día de hoy República Checa) siendo el menor de los dos hijos de Rudolf y Marianne Gödel, expatriados alemanes cuyas familias estuvieron asociadas con la industria textil de esa ciudad. Entre sus antepasados no encontramos profesores ni intelectuales; la educación de su padre no fue más allá de estudios de comercio. Sin embargo Rudolf Gödel, fue ambicioso y tenaz, llegando a ser director gerente primero y copropietario más tarde, de una de las grandes fábricas de hiladuras de Brno. Ganó dinero suficiente para comprar una casa en uno de los barrios elegantes y enviar a sus hijos a escuelas privadas de habla alemana. Su madre, Marianne, fue una cariñosa madre de familia que había recibido una extensa educación literaria en Francia. La familia Gödel era económicamente acomodada y el joven Kurt pudo dedicar todas sus energías al estudio, ya que no era necesario colaborar a la financiación familiar.
En toda su trayectoria escolar, primaria y secundaria, sólo una vez Kurt tuvo una calificación inferior a la máxima en una materia (sí, en matemática). Era un chico inquisitivo, tanto que fue apodado: der Herr Warum (“el señor Por qué”); también, introvertido, sensible y bastante enfermizo. Cerca de los ocho años contrajo unas fiebres reumáticas que aunque no le dejaron secuelas duraderas, lo mantuvieron apartado de la escuela algún tiempo y quizás hayan alentado el comienzo de su enfermiza preocupación por la salud y la dieta, que se fue reforzando con los años.
En 1924, tras graduarse en el Realgymnasium, una escuela técnica de Brno, Gödel abandonó su país natal para matricularse en la Universidad de Viena. Donde se encontraba su hermano desde hacia cuatro años estudiando medicina. La economía vienesa estaba por entonces en ruinas. Pero la universidad, retenía su viejo esplendor siendo un refugio, en el período de entreguerras, de un impresionante florecimiento en las ciencias, las artes y la filosofía.
Gödel ingresó en la universidad con la intención de seguir física. Pero al poco tiempo, impresionado por las lecciones de los profesores Philipp Furtwängler y Hans Hahn, se orientó hacia la matemática. Muy pronto se destacó por su talento. A los dos años carrera fue invitado a asistir a las sesiones de un seminario de debates que Hahn y el filósofo Mortz Schlick habían fundado dos años antes. El grupo, que llegaría a ser famoso con el nombre de Círculo de Viena, se inspiraba en los escritos de Ernst Mach, un campeón del racionalismo, convencido de que todas las cosas podían explicarse mediante la lógica y la observación empírica, sin recurrir a entidades metafísicas.
El Círculo puso a Gödel en contacto con Rudolph Carnap[1], filósofo de la ciencia y con el matematico Karl Menger. Le ayudó a familiarizarse con la bibliografía de la lógica matemática y de la filosofía. En particular, el Círculo se hallaba enfrascado en los escritos de Ludwig Wittgenstein[2], cuya preocupación por el metalenguaje (en qué medida el lenguaje puede hablar acerca del lenguaje) pudo haber inducido a Gödel a sondear cuestiones similares en matemática. Algunos de los miembros del Círculo, entre ellos Carnap, Hanh y el físico Hans Thirring, estaban investigando los fenómenos parapsicológicos, asunto por el que también Gödel mostraba agudo interés. (Años más tarde, Gödel le haría notar a un amigo íntimo, el economista Oskar Morgenstern[3], que en el futuro sería tenido por fenómeno extraño que los científicos del siglo XX hubieran descubierto las partículas físicas elementales y ni siquiera se les hubiera ocurrido considerar la posibilidad de factores psíquicos elementales.)
Gödel, sin embargo, no compartía la visión positivista del Círculo de Viena, que desarrolló y generalizó las ideas de Mach. Era, por contra, un platónico, convencido de que, además del mundo de los objetos, existe un mundo de los conceptos al que los humanos tienen acceso por intuición. Para él, un enunciado debía tener un “valor de verdad” bien definido -ser verdadero o no serlo- tanto si había sido demostrado como si era susceptible de ser refutado o confirmado empíricamente. Desde su propio punto de vista, tal filosofía constituía una ayuda para su excepcional penetración en las matemáticas.
Aunque Gödel era un observador atento y muy lúcido, rara vez contribuía a las discusiones del Círculo, a menos que tratasen de matemáticas. Tímido y reservado, tenía pocos amigos íntimos. (Le agradaba, sin embargo la compañía femenina y según parece, las mujeres le encontraban francamente atractivo).
Después de 1928 sólo en raras ocasiones asistía a las reuniones del grupo; en cambio, participaba activamente en un coloquio matemático organizado por Menger. Las actas del coloquio se publicaban en un anuario, que Gödel ayudaba a redactar y al que posteriormente, habría de contribuir con más de una docena de artículos.
Durante este período, Gödel adquirió súbitamente estatura internacional en lógica matemática. Dos fueron, en particular, las publicaciones responsables de ello. Una, su tesis doctoral, presentada en Viena en 1929 y publicada al año siguiente. La otra, su tratado “Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica[4] y sistemas afines”, publicada en alemán en su Habilitationsschrift (trabajo original de contribución a la investigación, con la finalidad de habilitarse para la docencia universitaria) en 1932.
En su tesis doctoral, “La completitud de los axiomas del cálculo funcional de primer orden”, resolvía un problema pendiente, que David Hilbert[5] y Wilhelm Ackermann habían planteado en un libro que escribieron conjuntamente en 1928, Grundzüge der theoretischen Logik (“Fundamentos de la Lógica Teórica”). La cuestión consistía en si las reglas al uso, enunciadas en el libro, para la manipulación de expresiones que contengan conectivas lógicas (“y”, “o”, y similares) y cuantificadores (“para todo” y “existe”, aplicadas a variables que recorren números o conjuntos) permitirían, adjuntados a los axiomas de una teoría matemática, la deducción de todas y sólo todas las proposiciones que fueran verdaderas en cada estructura que cumpliera los axiomas. En lenguaje llano, ¿sería realmente posible demostrar todo cuanto fuera verdadero para todas las interpretaciones válidas de los símbolos?
Se esperaba que la respuesta fuese afirmativa, y Gödel confirmó que así era. Su disertación estableció que los principios de lógica desarrollados hasta aquel momento eran adecuados para el propósito al que estaban destinados, que consistía en demostrar todo cuanto fuera verdadero basándose en un sistema dado de axiomas. No demostraba, sin embargo, que todo enunciado verdadero referente a los números naturales pudiera demostrarse a partir de los axiomas aceptados de la teoría de los números.
Entre dichos axiomas, propuestos por el matemático italiano Giuseppe Peano[6] en 1899, figura el principio de inducción. Este axioma afirma que cualquier propiedad que sea verdadera para el número cero, y que se cumpla para el número natural n+1 siempre que sea verdadera para n, tiene que ser verdadera para todos los números naturales. El axioma, al que algunos llaman “principio dominó” -porque si cae el primero, caerán derribados todos los demás- podría parecer evidente por sí mismo. Sin embargo, los matemáticos lo encontraron problemático, porque no se circunscribe a los números propiamente dichos, sino a propiedades de los números[7]. Se consideró que tal enunciado de “segundo orden” (metamatemático) era demasiado vago y poco definido para servir de fundamento a la teoría de los números naturales.
Por tal motivo, se refundió el axioma de inducción y se le dio la forma de un esquema infinito de axiomas similares concernientes a fórmulas específicas, en vez de referirse a propiedades generales de los números. Pero estos axiomas ya no caracterizan unívocamente los números naturales, como demostró el lógico noruego Thoralf Skolem[8] algunos años antes del trabajo de Gödel: existen también otras estructuras que los satisfacen.
El teorema de completitud de Gödel enuncia que es posible demostrar todos aquellos enunciados que se siguen de los axiomas. Existe, sin embargo, una dificultad: si algún enunciado fuese verdadero para los números naturales, pero no lo fuese para otro sistema de entidades que también satisface los axiomas, entonces no podría ser demostrado. Ello no parece constituir un problema serio, porque los matemáticos confiaban en que no existieran entidades que se disfrazasen de números para diferir de ellos en aspectos esenciales. Por este motivo, el teorema de Gödel que vino a continuación provocó una auténtica conmoción.
En su artículo de 1931, Gödel demostraba que ha de existir algún enunciado concerniente a los números naturales que es verdadero, pero no puede ser demostrado. (Es decir, que es que hay proposiciones que son verdaderas en los naturales, y falsas en otros de los modelos de Skolem). Se podría eludir este “teorema de incompletitud” si todos los enunciados verdaderos fueran tomados como axiomas. Sin embargo, en ese caso, la decisión de si ciertos enunciados son verdaderos o no se torna problemática a priori. Gödel demostró que siempre que los axiomas puedan ser caracterizados por un sistema de reglas mecánicas, resulta indiferente cuáles sean los enunciados tomados como axiomas. Si son verdaderos para los números naturales, algunos otros enunciados verdaderos acerca de los números naturales seguirán siendo indemostrables.
En particular, si los axiomas no se contradicen entre sí, entonces, ese hecho mismo, codificado en enunciado numérico, será “formalmente indecidible” -esto es, ni demostrable ni refutable- a partir de dichos axiomas. Cualquier demostración de consistencia habrá de apelar a principios más fuertes que los propios axiomas.
Este último resultado apenó muchísimo a Hilbert, quien había contemplado un programa para fijar los fundamentos de las matemáticas[9] por medio de un proceso “autoconstructivo”, mediante el cual la consistencia de teorías matemáticas complejas pudiera deducirse de la consistencia de más sencillas y evidentes. Gödel, por otra parte, no consideraba que sus teoremas de incompletitud demostrasen la inadecuación del método axiomático, sino que hacían ver que la deducción de teoremas no pueden mecanizarse. A su modo de ver, justificaban el papel de la intuición en la investigación matemática. Esto también puede pensarse como una imposibilidad intrínseca de los sistemas axiomáticos (y de las computadoras) para reflexionar sobre sí mismos y sacar conclusiones sobre los alcances de su funcionamiento, siendo de hecho uno de los argumentos que utiliza Roger Penrose[10] en su libro “The emperor´s new mind” (Vintage, 1989), en contra de que pueda modelarse el pensamiento humano con un algoritmo simulable por una computadora.
Los conceptos y los métodos introducidos por Gödel en su artículo sobre la incompletitud desempeñan un papel central en la teoría de recursión, que subyace a toda la informática moderna. Generalizaciones de sus ideas han permitido la deducción de diversos otros resultados relativos a los límites de los procedimientos computacionales. Uno de ellos es la irresolubilidad del “problema de la detención”, que consiste en decidir, para un ordenador arbitrario provisto de un programa y de unos datos arbitrarios, si llegará a detenerse o si quedará atrapado en un bucle infinito. Otro es la demostración de que ningún programa que no altere el sistema operativo de un ordenador será capaz de detectar todos los programas que sí lo hagan (virus).
Gödel pasó el año académico 1933-34 en Princeton, en el recién fundado Instituto de Estudios Avanzados, donde disertó sobre sus resultados de incompletitud. Fue invitado a volver al año siguiente, pero al poco de regresar a Viena sufrió una grave crisis mental. Se recuperó a tiempo para retornar a Princeton en el otoño de 1935; al mes de su llegada sufrió una recaída, y no volvió a impartir enseñanza hasta la primavera de 1937, en Viena.
Por ser confidencial el historial médico de Gödel, la diagnosis de su mal sigue siendo desconocida. Sus problemas parecen haber comenzado con hipocondría: estaba obsesionado por su dieta y por sus hábitos intestinales. Durante veinte años llevó un registro diario de su temperatura corporal y de su consumo de leche de magnesia. Temía sufrir un envenenamiento accidental; con los años, le aterraba ser objeto de una intoxicación deliberada. Esta fobia le llevó a no querer tomar alimentos, con la consiguiente desnutrición. Lo que no le impedía ingerir píldoras de diversa condición para un imaginario problema cardíaco.
Salvo en los problemas de crisis, los problemas mentales de Gödel entorpecieron muy poco su trabajo. La persona que le mantuvo en activo fue Adele Porkert, a quien conoció en un local nocturno de Viena durante sus años de estudiante. Porkert, seis años mayor que Gödel, católica y divorciada, con el rostro desfigurado por una “flor” de nacimiento, trabajaba de bailarina. Los padres de Gödel la tenían por motivo de escándalo. Pero ellos trascendieron los límites familiares y siempre se amaron, más de una vez, sirviéndole de catadora de alimentos, Adele contribuyó a paliar los temores de Gödel, cada vez más fuertes, de que buscaban envenenarlo. Tras un largo noviazgo, se casaron en septiembre de 1938, justo antes de que Gödel retornase a los EEUU, donde disertó en el Instituto de Estudios Avanzados y en la Universidad de Notre Dame sobre los apasionantes resultados que había obtenido en teoría de conjuntos.
Tal logro entrañaba la resolución de algunos de los aspectos más controvertidos de esta teoría. A finales del siglo XIX, el matemático alemán Georg Cantor[11] había introducido la noción de tamaño (cardinal) para conjuntos infinitos. Según tal concepto, un conjunto A tiene menor cardinal que un conjunto B si, cualquiera que sea la forma en que a cada elemento de A otro le sea asignado en B, quedan siempre elementos de B que no tienen correspondiente. Valiéndose de esta noción, Cantor demostró que el conjunto de los números naturales es menor que el conjunto de todos los números reales (el conjunto de todos los números decimales). Cantor conjeturó también que entre un conjunto y otro no existen conjuntos de tamaño intermedio, enunciado que llegó a ser conocido como la hipótesis del continuo.
En 1908, Ernst Zermelo[12], formuló una lista de axiomas para la teoría de conjuntos. Entre ellos se encontraba el teorema de elección, el cual (en una de sus versiones) afirma que dada una colección infinita de conjuntos disjuntos, cada uno de los cuales contiene al menos un elemento, existe un conjunto que contiene exactamente un elemento de cada uno de los conjuntos de la colección. Aunque su aspecto parece incuestionable -¿por qué no habríamos de ser capaces de extraer un elemento de cada conjunto?- el axioma de elección entraña una multitud de consecuencias contrarias a la intuición. De él se deduce, por ejemplo, la posibilidad de descomponer una esfera en un número finito de piezas, que separadas y vueltas a ensamblar aplicando tan sólo movimientos rígidos, forme una nueva esfera de volumen doble que la primera.
El axioma de elección desencadenó la polémica. Los matemáticos sospechaban -correctamente, como luego se vería- que ni el axioma de elección ni la hipótesis del continuo podían deducirse de los otros axiomas de la teoría de conjuntos. Y temían que las demostraciones fundadas en dichos principios pudieran generar contradicciones. Gödel, sin embargo, demostró que ambos principios eran coherentes con los restantes axiomas.
Los resultados de Gödel en teoría de conjuntos resolvieron una de las cuestiones que Hilbert había planteado en 1900 en una alocución célebre pronunciada en el Congreso Internacional de Matemáticas. Sólo por ello constituían un gran logro; no bastaron, sin embargo, para asegurarle un puesto académico permanente. Durante el año que pasó en el Instituto de Estudios Avanzados y en Notre Dame, expiró su autorización para la docencia en las universidades austríacas. Y cuando volvió a Viena para reunirse con su esposa, en el verano de 1939, fue reclamado para un reconocimiento médico militar y declarado apto para el servicio en las fuerzas armadas nazis.
Hasta entonces, Gödel parecía haber permanecido indiferente ante los pavorosos acontecimientos que se estaban produciendo en Europa. Aunque interesado por la política, e informado de los acontecimientos, permaneció curiosamente insensible ante ellos. Su falta de compromiso con sus semejantes pudo haberle impedido apreciar la gravedad de lo que estaba ocurriendo. Parecía estar ajeno a la suerte que estaban corriendo sus colegas y profesores, judíos muchos de ellos y siguió sumido en su trabajo mientras el mundo que le rodeaba se hacía pedazos. Por fin, acabó comprendiendo que con el mundo que se hundía también se estaba hundiendo él.
En aquella situación desesperada, sin empleo y a punto de ser reclutado, solicitó el apoyo del Instituto de Estudios Avanzados para que le ayudaran a obtener visados de salida para sí mismo y para su mujer. Sus esfuerzos tuvieron éxito. En enero de 1940 ambos emprendieron un largo viaje hacia el este en el ferrocarril transiberiano. Desde Yokohama continuaron por barco hasta San Francisco. Llegaron a Princeton a mediados de marzo.
Gödel ya no volvería a salir de los EEUU. Tras una serie de nombramientos anuales se le admitió como miembro permanente del claustro en 1946. Dos años después obtuvo la ciudadanía estadounidense. (En aquella ocasión, el juez que le tomó juramento cometió el desafortunado error de pedirle su opinión sobre la Constitución de los EEUU, y desencadenó como respuesta una disertación sobre sus contradicciones que eran muchas y según él podrían ser muy bien aprovechadas por algún tirano con fines maléficos). Pero Gödel fue ascendido a catedrático recién en 1953, el mismo año en que fue elegido miembro de la Academia Nacional de Ciencias. Tal demora se debió, en parte, a las dudas que planteaba su estabilidad mental con sus constantes temores sobre posibles emanaciones de gases tóxicos en su refrigerador. Durante aquellos años, su amigo Albert Einstein se preocupó de Gödel lo más que pudo; todos los días daban un paseo juntos.
Tras su emigración a los EEUU, abandonó el trabajo en teoría de conjuntos y se orientó hacia la filosofía y hacia la teoría de la relatividad. En 1949 demostró que eran compatibles con las ecuaciones de Einstein universos donde se pudiera viajar retrógradamente en el tiempo. En 1950 disertó sobre estos resultados en el Congreso Internacional de Matemáticos, y al año siguiente pronunció la prestigiosa Disertación Gibbs en la asamblea anual de la Sociedad Matemática Americana. Pero en el intervalo entre estas dos intervenciones públicas estuvo a punto de morir por una úlcera sangrante, que descuidó hasta un estadio peligrosamente avanzado, por la desconfianza que sentía hacia los médicos.
El último de sus artículos publicados en vida apareció en 1958. Después, se sumió en la introversión, cada vez más demacrado, paranoide e hipocondríaco. Su última aparición pública aconteció en 1972, al recibir un doctorado honorífico por la Universidad Rockefeller. Tres años después le fue otorgada la Medalla Nacional de Ciencias, pero Gödel disculpó su asistencia por razones de salud.
El 1 de julio de 1976, alcanzados los 70 años, edad de jubilación obligatoria, Gödel se convirtió en profesor emérito de Instituto. Sus responsabilidades empero no disminuyeron, porque su esposa, que durante tantos años le había alimentado y protegido, había sufrido pocos meses antes un ataque cardíaco que la dejó inválida. Ahora le correspondía a él cuidarla. Y así lo hizo, con devoción, hasta julio de 1977, cuando ella hubo de someterse a una operación de urgencia y permaneció hospitalizada durante casi seis meses.
Por aquellas fechas, Morgenstern, el amigo que había contribuido a cuidar de Gödel tras fallecer Einstein en 1955, murió de cáncer. Gödel tuvo entonces que luchar por sí solo contra su cada vez más acusada paranoia. Solo frente a ella, su declive fue inevitable. Temeroso de ser envenenado dejó de comer y acabó muriendo por inanición el 14 de enero de 1978.
Gödel publicó excepcionalmente poco en vida -menos que ningun otro de los grandes matemáticos, si se exceptúa a Bernhard Riemann- pero la influencia de sus escritos ha sido enorme. Sus trabajos han afectado prácticamente a todas las ramas de lógica moderna. Durante el decenio pasado, otros artículos suyos han sido traducidos desde la obsoleta taquigrafía alemana que él utilizaba, y publicados póstumamente en el tercer volumen de sus Collected Works. Sus contenidos, entre los que figura su formalización del argumento ontológico de la existencia de Dios, han empezado también a llamar la atención.
Kurt Gödel, fue un genio de la matemática, su vida y su obra responden a una búsqueda tenaz de la racionalidad teniendo como paradoja del destino que luchar durante toda su vida con los límites de la locura, sin embargo nos ha dejado muchas cosas para afirmar que no ha sido en vano su lucha con sus molinos de viento.
entonces es incompleta - murmuró,
más para sí que para su interlocutor- .
Como si ya fuera asunto del pasado,
como si el énfasis o el entusiasmo
fuesen una falta de delicadeza
para todos los que habían
buscado infructuosamente la respuesta.
Entonces, Von Neumann[13]
tuvo la certeza de que la verdad,
como la tortuga inventada por Zenón,
se escapaba para siempre
de los meandros de la razón axiomática.
No había, era imposible,
un lenguaje universal y perfecto
y la matemática, la pasión de tantos,
su religión, era la única que,
mediante la epifanía de Gödel,
había demostrado inapelablemente
la necesidad de fe.
Mirándolo entonces directamente a los ojos,
con la admiración y respeto
debido a los realmente grandes,
le estrechó la mano por largos segundos
y tal vez porque era duro
ser la sombra de la sombra
de esa figura de hermoso rostro,
lentes pequeños,
impecable traje blanco
y sombrero panamá,
decidió abandonar
toda investigación relacionada
con estas inquisiciones….
ENSAYO Recuerdos e investigaciones:
El teorema de Gödel
Eric Goles
Diario El Mercurio, Artes & Letras, 10 de Agosto de 2003
Bibliografía:
1) “El teorema de Gödel” de Ernest Nagel y James R. Newman, Editorial Tecnos S.A., 1994.
2) “Gödel y los límites de la lógica” de John W. Dawson Jr., Investigación y Ciencia, agosto de 1999: 58-63. Traducción de Luis Bou.
3) Biografia sobre Gödel por José Biedma, disponible en internet al link : http://www.cibernous.com/autores/kgodel/teoria/biografia.html
4) “Lógica y algoritmos, con aplicaciones a las ciencias de la computación e información” de Robert R. Korfhage, Editorial Limusa-Wiley, 1970.
5) “Enfoque moderno de la lógica clásica” de Gerold Sthal, Ediciones de la Universidad de Chile, 1958.
6) “Problemas de lenguajes y algoritmos” de Marta Sagastume y Gabriel Baum, con la colaboración de Guillermo Martínez, Coleçao CLE, UniCamp 2003.
7) Para las biografías he utilizado el Google y Wikipedia en español disponible al link: http://es.wikipedia.org/wiki/Portada
8) “ENSAYO Recuerdos e investigaciones: El teorema de Gödel” de Eric Goles, Diario El Mercurio, Artes & Letras, 10 de Agosto de 2003
Agradecimientos:
A mis referentes sobre Gödel: Antonio José Di Scala, Martín Sombra, “el flaco” Cañete y Nicolás Coleff.
[1] Rudolph Carnap (1891-1970) Nascido en Ronsdorf, Alemania, estudió filosofía, física y matemáticas en las universidades de Jena, Friburgo y Berlín. Entre sus maestros académicos, Gottlob Frege y Albert Einstein. Estudia y reflexiona, a partir de Kant, sobre la teoría del espacio. Durante los años veinte del pasado siglo, forma parte muy activa del Círculo de Viena, al tiempo que inicia sus actividades académicas en la universidad de la capital austriaca (1925), donde permanecerá seis años, antes de trasladarse la Universidad Germana de Praga. En 1935, tras el acceso al poder del partido nazi, emigra a Estados Unidos, donde continúa su labor académica en las universidades de Chicago, Harvard, Princeton y California, hasta su muerte en 1970.
Sus contribuciones a la filosofía de la ciencia y del lenguaje son extraordinarias. Desde un planteamiento neopositivista, enfrentado a la metafísica –la superación de la metafísica mediante el análisis lógico del lenguaje-, traza las bases teóricas del empirismo lógico. Huye de la retórica filosófica que construye problemas ficticios a partir de enunciados especulativos, apegados a la literalidad de los significados y alejados de la realidad verificable. Autor de Der logische Aufbau del Welt [Construcción lógica del mundo], aparecido en 1928, en el señala que la ciencia puede describirse mediante un lenguaje fenomenológico, a partir del cual establece progresivamente su concepción semántica de la realidad. En 1934 publicó Logische Syntax der Sprache [La sintaxis lógica del lenguaje], otra de sus grandes contribuciones. Durante los años cuarenta, en Estados Unidos, centra sus trabajos en el campo de la semántica y publica tres de sus libros más conocidos Introduction to Semantics (1942), Formalization of Logic (1943), Meaning and Necessity: A Study in Semantics and Modal Logic (1947), Meaning Postulates (1952), Observation Language and Theoretical Language (1958) y The Methodological Character of Theoretical Concepts (1958).
[2] Ludwig Josef Johann Wittgenstein (Viena, Austria, 26 de abril de 1889 — †Cambridge, Gran Bretaña, 29 de abril de 1951) Filósofo austríaco que se interesó, fundamentalmente, por la estructura lógica del lenguaje. En vida publicó solamente un libro: el Tractatus logico-philosophicus, que influenció en gran medida a los positivistas lógicos del Círculo de Viena, movimiento éste del que nunca se consideró miembro. Tiempo después, el Tractatus fue severamente criticado por el propio Wittgenstein en Los cuadernos azul y marrón y en sus Investigaciones filosóficas, ambas obras póstumas. Fue discípulo de Bertrand Russell en el Trinity College de Cambridge, donde más tarde también él llegó a ser profesor.
[3] Oskar Morgenstern (1902-1976) Nacido en Gorlitz, Silesia, estudia en las universidades de Viena, Harvard y New York. Miembro de la Escuela Austriaca y avezado matemático, participa en el famoso "Circulo de Viena" que pusieron en contacto científicos de diversas disciplinas, de cuya sinergia se sabe que surgieron multitud de nuevas ideas e incluso nuevos campos científicos. Emigra a Estados Unidos durante la segunda guerra mundial ejerciendo la docencia en Princeton. Publica en 1944, conjuntamente con John von Neuman, la "Theory of Games and Economic Behavior" un estudio hoy considerado un clásico concebido inicialmente para profesionales de la economía, pero con consecuencias inmediatas en el campo social, jurídico, político, económico y desde luego militar.
[4] En su obra Principia Mathematica (1910) Bertrand Russell y Alfred North Whitehead, dedujeron la aritmética a partir de la lógica. Los conceptos básicos de la aritmética se definen y los axiomas de la aritmética se deducen a partir de los conceptos y axiomas de la lógica respectivamente. Su trabajo es una superación de Peano y Frege por el rigor de la exposición. En los tres gruesos volúmenes de la obra, la lógica simbólica y la aritmética forman un solo gran edificio.
[5] Hacia 1900, en la tradición de los cinco postulados de Euclides y de los principio de la lógica simbólica esbozados por Leibiniz, David Hilbert propuso como programa para el nuevo siglo la formulación de un sistema axiomático general para toda la matemática. Por un lado esto debía evitar las paradojas que habían puesto en crisis por ejemplo a la teoría de conjuntos y, por otro lado, establecer las bases para que la verdad de cualquier proposición matemática pudiera comprobarse de una manera mecánica y objetiva, i.e., que una vez propuesta una tesis, la corroboración de esa tesis no dependiera de la inteligencia o intuición humana. Nótese que detrás de este programa está el convencimiento de que todo enunciado matemático verdadero lo es por alguna razón que puede explicitarse. Esta razón, compatible y comprobable, es lo que los matemáticos llaman prueba. En la practica matemática usual, esto corresponde a dos momentos en general separados: la aprehensión de una noción verdadera y en una segunda etapa la búsqueda de los argumentos que demuestran esa verdad (compárese con la noción de culpabilidad y evidencia en justicia).
Los dos principales requisitos que pedía Hilbert para este sistema axiomático general eran:
1- Consistencia: Esto significa que no pueden deducirse como teoremas del sistema una formula A y su negación ~A. Si esto ocurre, a partir del principio del tercero excluido pueden obtenerse como teoremas absolutamente todas las proposiciones y la noción de “demostrable” pierde sentido.
2- Completitud: Dada una proposición A, como o bien a es verdadera o ~A lo es, uno debería ser capaz de obtener o bien una demostración de A, o bien una demostración de ~A.
Es decir, el sistema que propuso Hilbert debía ser capaz de producir sólo verdades (nada más que la verdad) y todas las verdades (toda la verdad).
De este modo, la noción de verdad matemática se transformaría en algo objetivo: una proposición resultaría verdadera si y sólo si pudiera demostrarse.
Parecían requisitos razonables y las más grandes mentes de las matemáticas de la época creían que este proyecto era realizable.
[6] Giuseppe Peano (27 de Agosto, 1858 – 20 de Abril , 1932) fue un matemático y filósofo Italiano, conocido por sus contribuciones a la Teoría de conjuntos. Peano publicó más de doscientos libros y artículos, la mayoría en matemáticas. La mayor parte de su vida la dedicó a enseñar en Turín.
[7] Consideremos la expresión:
2 + 3 = 5
Esta expresión pertenece a las matemáticas (aritmética) y esta expresada exclusivamente de signos aritméticos elementales. Por otra parte, la proposición:
“2 + 3 = 5” es una formula aritmética
afirma algo acerca de la expresión indicada. La proposición no expresa un hecho aritmético ni pertenece al lenguaje formal de la aritmética; pertenece a la metamatemática (según Hilbert: es el lenguaje que se formula acerca de las matemáticas) porque caracteriza como fórmula una determinada hilera de signos aritméticos. Las proposiciones metamatemáticas contienen los nombres de ciertas expresiones aritméticas, pero no las expresiones aritméticas mismas. La distinción es sutil, pero válida e importante. Proviene de la circunstancia de que las reglas de la gramática exigen que ninguna oración contenga literalmente el objeto a que pueda referirse la misma, sino solamente los nombres de tales objetos. Evidentemente, cuando hablamos de una ciudad no introducimos la ciudad misma en la oración, sino solamente el nombre de la ciudad; y, análogamente, si queremos decir algo acerca de una palabra (u otro signo lingüistico) no es la palabra misma (o el signo) lo que puede aparecer en la oración, Sino solamente el nombre de la palabra o signo. Para evitar confusiones construimos el nombre de una expresión lingüística poniéndola entre comillas, tal como es indicado en la segunda proposición.
[8] Albert Thoralf Skolem (Sandsvaer, 1887-Oslo, 1936) Lógico y matemático noruego. Contribuyó al desarrollo de la teoría intuicionista. Trabajó en especial en la resolución de las ecuaciones diofánticas y en el estudio axiomático de los números enteros.
[9] Como ya hemos comentado en 1900 Hilbert propuso una lista de 23 problemas cuya solución consideraba esencial para el avance de las matemáticas. Muchos de esos problemas ya se han resuelto; muchos han dado lugar a otros problemas más profundos; algunos siguen aún sin solución. Se ha demostrado que unos pocos de ellos dependen fuertemente de conceptos lógicos y, por ello, han influido mucho en el desarrollo de la lógica. Por supuesto que nadie esperaba algo como el “Teorema de incompletitud” y la amargura causada a Hilbert (y a otros tantos) se podría haber evitado si le hubiera hecho caso a Wittgenstein, quien en su Tratactus comentaba: “De lo que no se sabe, es mejor no hablar”. Talvez sea mejor seguir soportando las amarguras y seguir hablando, aunque muchos conceptos se desmoronen y deban ser reconstruidos desde cero.
[10] Sir Roger Penrose (Colchester,8 de agosto de 1931) Matemático y pensador británico. Doctor en ciencias. En 1964 entró en el Birkberck College de Londres como profesor de matemáticas aplicadas y a partir de 1973 ocupó la cátedra de matemáticas Rouse Ball en la Universidad de Oxford. Estudioso de los agujeros negros, inventó un sistema para cartografiar los alrededores de dichos fenómenos astrofísicos. Este tipo de mapa se denomina Diagrama Penrose. También se dedicó a crear paradojas matemáticas, convirtiéndo complicadísimas elucubraciones en ingeniosos puzzles. Actualmente se ha volcado en el estudio de la inteligencia artificial. Autor de los libros La Nueva Mente del Emperador (The emperor's new mind) (1989), Las Sombras de la Mente (Shadows of the mind) (1994) y Lo grande, lo pequeño y la mente humana (The Large, the Small and the Human Mind) (1997). En 1994 fue nombrado sir como reconocimiento a sus méritos científicos.
[11] Georg Ferdinand Cantor (San Petersburgo, Rusia, 3 de marzo de 1845, Halle, Alemania , 6 de enero de 1918) fue un matemático alemán, inventor con Dedekind de la teoría de los conjuntos, que es la base de las matemáticas modernas. Gracias a su teoría axiomática de los conjuntos, fue el primero capaz de formalizar la noción de infinito, bajo la forma de números transfinitos (cardinales y ordinales).
Cantor descubrió que los conjuntos infinitos no tienen siempre el mismo tamaño, o sea el mismo cardinal. Por ejemplo el conjunto de los racionales es enumerable o contable, es decir del mismo tamaño que el conjunto de los naturales, mientras que el de los reales no. Existen por lo tanto varios infinitos, mayores unos que otros y, entre estos infinitos, los hay tan grandes que no tienen correspondencia en el mundo real, asimilado al espacio vectorial R3. Este hecho supusó un desafío para un espíritu tan religioso como Georg Cantor, y las acusaciones de blasfemia de ciertos colegas envidiosos o que no entendían sus descubrimientos no le ayudaron. Sufrió de depresión y fue internado repetidas veces en hospitales psiquiátricos. Su mente luchaba contra varias paradojas de la teoría de los conjuntos, entre ellas la paradoja de Russell, (que todavía no ha encontrado una solución satisfactoria desde el punto de vista intuitivo) y que parecían invalidar toda su teoría (hacerla inconsistente o contradictoria, en el sentido que una cierta propiedad fuera a la vez cierta y falsa). Ademas trató durante muchos años probar la hipótesis de continuo, lo que se sabe hoy que es imposible, y que tiene que ser aceptada (o rehusada) como axioma adicional de la teoría.
Por último, empezó a interpretar el infinito absoluto (reunión de todos los infinitos, y por lo tanto el último de ellos – este infinito no es concebible por la mente humana) como Dios y escribió artículos religiosos sobre el tema. Murió en una clínica psiquiátrica, pobre y sin que sus pares reconocieran su genio.
Hoy en día, la comunidad matemática reconoce plenamente su trabajo, y admite que significa un salto cualitativo importante en el razonamiento lógico.
[12] Ernst Zermelo (Berlín, 1871-Friburgo, 1953) Matemático alemán. Profesor en la Universidad de Friburgo, se especializó en el estudio de la teoría de conjuntos y llevó a cabo una primera axiomatización de la misma, ampliada posteriormente por Fraenkel y Skolem. Fue discípulo de Hilbert y había encontrado independientemente la paradoja de Russell hacia 1900, pero parece que no la consideró una grave amenaza, vio con toda claridad que el origen de las “antinomias” estaba en el principio irrestricto de Comprehensión (que expresado en lenguaje llano diría: dame una propiedad y te daré un conjunto). Su propuesta en 1908 fue adoptar el axioma de Separación o Subconjuntos y enunció un teorema (teorema de Zermelo) según el cual siempre se puede establecer una aplicación biyectiva entre un conjunto y un número ordinal.
[13] John Von Neumann (Neumann János) (28 de diciembre de 1903 - 8 de febrero de 1957) fue un matemático húngaro-estadounidense que realizó contribuciones importantes en física cuántica, teoría de conjuntos, informática, economía y en casi todos los campos de las matemáticas. Recibió su doctorado en matemáticas de la Universidad de Budapest a los 23 años. Fue una de las cuatro personas seleccionadas para la primera facultad del Institute for Advanced Study (Instituto para Estudios Avanzados). Trabajó en el Proyecto Manhattan.
Es el padre del la teoría de juegos y publicó el clásico libro Theory of games and economic behavior ('Teoría de juegos y comportamiento económico') junto a Oskar Morgenstern en 1944. También concibió el concepto de "MAD" (Mutually Assured Destruction o 'destrucción mutua asegurada'), concepto que dominó la estrategia nuclear estadounidense durante los tiempos de posguerra.
Trabajó con Eckert y Mauchly en la Universidad de Pennsylvania, publicó un artículo acerca del almacenamiento de programas. El concepto de programa almacenado permitió la lectura de un programa dentro de la memoria de la computadora, y después la ejecución de las instrucciones del mismo sin tener que volverlas a escribir. La primera computadora en usar el citado concepto fue la llamada EDVAC (Eletronic Discrete-Variable Automatic Computer, es decir “computadora automática electrónica de variable discreta”), desarrollada por Von Neumann, Eckert y Mauchly.
Los programas almacenados dieron a las computadoras flexibilidad y confiabilidad, haciéndolas más rápidas y menos sujetas a errores que los programas mecánicos.
